En este día únicamente se realizó la evaluación #1 correspondiente al primer bimestre
Lunes, 6 de junio/ 2016
EXPERIMENTO ESTADÍSTICO
Espacio Muestral (S, E): El Espacio Muestral, representado con la letra S, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Cada elemento de S se denomina Punto Muestral. Pueden ser:
Discreto: Finitos e infinitos
Continuos
Eventos.- Es algún subconjunto del espacio muestral S. Se le pueden denotar con letras mayúsculas o con: E1, E2, E3.... Existes varios tipos de eventos, como los presentados a continuación:
Evento nulo: No contiene resultados (puntos muestrales)
Evento simple: Contiene un solo resultado (punto muestral)
Evento excluyente: Eventos que no contienen resultados comunes
O- ALGEBRA
Una o-algebra incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la operación de unión de conjuntos.
Probabilidad de eventos.- El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realización.
Sea un evento A, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice
P(A)= 0 No se realizará
P(A)=1 Si se realizará
P(A)= 0,5 Se realice como no se realice
Asignación de valores de probabilidad a eventos.
1) Empírica.- Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de intentos realizados
2) Mediante modelos matemáticas.-
3) Asignación clásica:
S= espacio muestral
A: Eventon de interés
N(S) y N(A) representan la cardinalidad de S y A respectivamente. Entonces la probabilidad de un evento es:
P(A)= N(A)/N(S)
Probabilidad de un evento simple.- Un evento cualquiera A de S puede considerarse entonces como la unión de sus eventos simples:
S: Espacio muestral con "n" puntos muestrales
A: Evento cualquiera de S con K puntos muestrales
E1, E2, Ek: Eventos simples incluidos en A
Cada evento simple tiene igual probabilidad, entonces:
P(A) = K(1/N)
Axiomas de probabilidad de eventos
Función de la probabilidad de un evento:
P: S --> R
E --> P(E); dom P= S, rg P= [0,1]
Axiomas:
1) P(E) _> 0
2) P(S) =1
3) E1, E2 C S ^ E1 n E2= 0 ---> P( E1UE2)= P(E1) + P(E2)
Propiedades de la Probabilidad de eventos
Probabilidad del Evento nulo =o
Probabilidad del Evento complemento P(E^c)= 1- P(E)
Probabilidad de Eventos incluidos A U (A^c n B)= AUB=B
La probabilidad de un Evento está entre 0 y 1
Probabilidad de la diferencia de Eventos P(AUB)= P(A) - P(AnB)= P(AnB^c)
Regla aditiva de Probabilidad de Eventos P(AUB)= P(A) + P(B) - P(AnB)
Miercoles, 8 de junio/2016
Probabilidad condicional
Sean A ^ B eventos de S
-La probabilidad condicional de un evento A, dado el evento B se escribe P(A|B) y es:
P(A|B)= P(AnB) / P(B) ; P(B) debe ser diferente de 0
Lunes, 13 de junio/2016
Axiomas de probabilidad condicional
1) P(A) ≥ 0
2) P(S) =1
3) P(AUB)= P(A) + P(B) - P(AnB)
EJEMPLO
EJEMPLO: En un club de amigos, 10 práctican tennis, 7 práctican futbol, 4 prátican ambos deportes y los restantes 5 no práctican algún deporte. Si se elige una de estas personas al azar, calcule la probabilidad que:
a) P(TUF)= P(T) + P(F) - P(TnF) = 7/18 +10/18 - 4/18= 13/18
b) P(T^c)= 8/18
c) P(TnF)= 6/18
d) P(T| F^c) = ( P(Tn F^c) ) / P(F^c) = 6/11
EJEMPLO: En una fábrica de pernos, las máquinas A, B y C fabrican 25, 35 y 40 % de la producción total respectivamente. De lo que produce, 5, 4 y 2% respectivamente son pernos defectuosos. Se escoge un perno al azar y se encuentra de que es defectuoso. Cual es la probabilidad de que el perno provenga de la máquina A, B, C .
EVENTOS INDEPENDIENTES
Lunes, 20 de Junio/ 2016
Propiedades del valor esperado
EJEMPLO
EJEMPLO: En un club de amigos, 10 práctican tennis, 7 práctican futbol, 4 prátican ambos deportes y los restantes 5 no práctican algún deporte. Si se elige una de estas personas al azar, calcule la probabilidad que:
a) P(TUF)= P(T) + P(F) - P(TnF) = 7/18 +10/18 - 4/18= 13/18
b) P(T^c)= 8/18
c) P(TnF)= 6/18
d) P(T| F^c) = ( P(Tn F^c) ) / P(F^c) = 6/11
EJEMPLO: En una fábrica de pernos, las máquinas A, B y C fabrican 25, 35 y 40 % de la producción total respectivamente. De lo que produce, 5, 4 y 2% respectivamente son pernos defectuosos. Se escoge un perno al azar y se encuentra de que es defectuoso. Cual es la probabilidad de que el perno provenga de la máquina A, B, C .
EVENTOS INDEPENDIENTES
Se dice que A y B son eventos independientes si P(A|B)= P(A) y P(B|A)= P(B), es decir que el evento A no depende del evento B y el evento B no depende del evento A
i) P(A|B)= ( P(AnB) )/ P(B) = ( P(A) P(B) ) / P(B) P(A|B)= P(A)
ii) P(B|A)= ( P(AnB) )/ P(A) = ( P(A) P(B) ) / P(A) P(B|A)= P(B)
* Eventos independientes de la probabilidad con 3 eventos
Si A, B, C son eventos mutuamente independientes, entonces
P(AnBnC) = P(A) P(B) P(C)
Miercoles, 15 de Junio/ 2016
PROBABILIDAD TOTAL
Sean B1, B2, B3... Bk , eventos mutuamente excluyentes en S y que constituyen una partición de S, es decir, cumplen las siguientes propiedades.
a) Para todo i,j ( Bi n Bj) = 0; i ≠ j (Los eventos son excluyentes)
b) B1 U B2 U....U Bk = S
P(A) = P(B1) P(A|B1) +P(B2) P(A|B2)+..... P(Bk) P(A/Bk)
P(A)= SUMATORIA P(B1) P(A|B1)
Lunes, 20 de Junio/ 2016
VARIABLES ALEATORIAS
Las variables aleatorias establecen correspondencias del espacio muestral S al conjunto de los números reales
Definición:
SEAN:
X: Variable aleatoria e: Cualquier elemento de S R: Conjunto de los números reales
S: Espacio muestral x: Valor que puede tomar X
ENTONCES:
X: S --> R Es la correspondencia que establece la variable aleatoria x
e --> x, dom x= S; rgX es subconjunto de R
EJEMPLO:
Distribución de Porbabilidad de una Variable aleatoria discreta
Cada valor de una variable aleatoria discreta puede asociarse a un valor de probabilidad
Definición:
SEAN: X: Variable aleatoria discreta
f(x)= P(X=x): Probabilidad que X tome el valor x
ENTONCES, LA CORRESPONDENCIA
f: X ---> R
X ----> f(x)= P(X=x), dom f =x ; rg f es subconjunto [0,1]
Miércoles, 22 de Junio/2016
Distribución de Probabilidad Acumulada de una Variable aleatoria discreta
SEAN: X: Variable aleatoria
f: Distribución de probabilidad de la variable aleatoria x
F: Distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria
F(x)= P(X ≤ x)= SUMATORIO f(x)
F: R ---> R domF=R; rg F es subconjunto de [0,1]
Propiedades de Probabilidad acumulada.
1.) 0 ≤ F(x) ≤ 1
2.) a ≤ b --> F(a) ≤ F(b); F es creciente
3.) P(x >a)= 1 - P(x≤a)= 1-F(a)
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
SEAN: X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad de x
U= E(X): Media o valor esperado de x
ENTONCES:
Valor esperado de expresiones con una variable aleatoria
SEAN: X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad de x
G(x): Alguna expresión con la variable aleatoria
ENTONCES:
Lunes, 27 de Junio/2016
JUEGO JUSTO
Se dice un "juego justo" si el valor esperado de la ganancia cero: u= E(x) =0
Propiedades del valor esperado
SEAN: X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad de X
a,b ∈ R: Números reales cualesquiera
ENTONCES: E(ax+b) = aE(x) + b
E(b) = b
Varianza de una variable aleatoria discreta
SEA: X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad
u o E(x): Media o valor esperado de la variable aleatoria discreta X
ENTONCES:
Propiedades de la varianza
1) V(ax +b) = a^2 V(x)
2) V(b) = 0
3) V(b) = 0
4) Var( X+ Y)= V(X) + V(Y)
UNIDAD DE FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
SEAN: x,y: Variables aleatorias discretas
f(x), f(y): Distribuciones de probabilidad de x, y respectivamente
Mx(t) , My(t): Funciones generadoras de momentos de x,y respectivamente
SI: Mx(t) = My(t) ENTONCES f(x) = f(y)
TEOREMA DE CHEBYSHEV
Sea x una variable aleatoria discreta con media (u) y varianza (G^2), entonces, la probabilidad que X tome valores dentro de "K" desviaciones estandar o de su media (u), es al menos 1-1/ (K^2)
Miércoles, 29 de Junio/ 2016
EJEMPLO
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Varianza de una variable aleatoria discreta
SEA: X: Variable aleatoria discreta
f(x): Distribución de probabilidad
u o E(x): Media o valor esperado de la variable aleatoria discreta X
ENTONCES:
Propiedades de la varianza
1) V(ax +b) = a^2 V(x)
2) V(b) = 0
3) V(b) = 0
4) Var( X+ Y)= V(X) + V(Y)
UNIDAD DE FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
SEAN: x,y: Variables aleatorias discretas
f(x), f(y): Distribuciones de probabilidad de x, y respectivamente
Mx(t) , My(t): Funciones generadoras de momentos de x,y respectivamente
SI: Mx(t) = My(t) ENTONCES f(x) = f(y)
TEOREMA DE CHEBYSHEV
Sea x una variable aleatoria discreta con media (u) y varianza (G^2), entonces, la probabilidad que X tome valores dentro de "K" desviaciones estandar o de su media (u), es al menos 1-1/ (K^2)
Miércoles, 29 de Junio/ 2016
DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME
SEA: X: Variable aleatoria
x: x1,x2,x3...xn tengan igual probabilidad
f(x) = 1/n ... x= x1,x2,x3..,xn
0 .... Para otro caso
EJEMPLO: Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el resultado. Si X es la variable aleatoria correspondiente a los 6 posibles resultados. Halle la distribución de probabilidad. Calcular la probabilidad que X tome el valor de 3
x= 1,2,3,4,5,6
n= 6
f(x) = 1/n = 1/6....... x= 1,2,3,4,5,6
F(3)= 1/6
u= 3,5
G^2= 35/12
DISTRIBUCIÓN BERNULLÍ
En esta distribución solo existen 2 posibles resultados: éxito y fracaso
DONDE:
p= probabilidad de que exista éxito
q= probabilidad de que exista fracaso
p; x=1
q; 1-p; x=0
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Posibles resultados: éxitos y fracasos
Características:
- Eventos son independientes
- Ensayos (n) finitos
- p= constante
DEFINICIÓN: X: Variable aleatoria discreta
x= 0,1,2,...,n
p= probabilidad de éxito
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