DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (EJERCICIOS)
Miercoles, 13 de julio de 2016
EJERCICIOS
El tiempo que tardan en atender a una persona en una cafeteria es una variable aleatoria continua con densidad de probabilidad
f(x) = { 0.25 e^ (-0.25x)
0 otro intervalo
a) Grafique f(x)
b) Calcule F(x)
c) calcule E(x); V(x)
d) si y=2x+1, calcule E(x)
resolución:
x: tiempo que tardan en atender a una persona en una cafeteria
TEOREMA DE CHEBYSHEV
El teorema de chebyshev se lo puede aplicar a una variable aleatoria continua , salvo la única diferencia que su demostración requiere del uso de integrales más no de sumatorias
Problema :
u= 12
σ^2= 9
σ= 3
a) P( σ<x<18)= P[(u -2 σ<x< u +2 σ)]
u-k σ=6 1-(1/k^2) --> 1-(1/2^2) --< 1-0.25 = 3/4
k=2
b) P(3<x<21)_> 1-(1/k^2)
u-k σ =3
12-3k=3
k=3
*DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA
PEGAR DEMOSTRACION DE WORD
.- Un reloj de manecillas se detuvieron en un punto que no sabemos. Determine la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos, luego de señalar la hora en punto.
[a,b] = [0,60]
P(o_< x _< 25) = ∫ 1dx/60 = 1/60 [x]|0 = 5/12
f(x) = 1/(b-a) = 1/ 60-0 = 1/60
.- Cuando falla cierto componente de una maquina, este debe detenerse hasta que sea reparada. Suponiendo que el tiempo de reparacion puede tener cualquier valor entre 1 y 5 horas:
a) Calcule la probabilidad que la duracion teme al menos 2 horas
b) Calcule el valor esperado y la varianza de la duracion de la reparación
[a,b] = [1,5)
P(x >2)= 1-P(1<x<2) = 1- ∫ 1/4 dx =
f(x) = 1/(5-1)= 1/4
E(x) = a+b/2 = 1+5/2= 4
Var(x) = (b-a)^2/12 = (5-1)^2/12 = 4/3
* DISTRIBUCIÓN NORMAL
Sea: X: una variable aleatoria con media (u) y varianza (σ.^2)
x- N(u,σ^2)
Grafico de la distribución normal:
cumple las siguientes caracteristicas
1) Es simetrica alrededor de u
2) Su azintota es el eje horizontal
3) Sus puntos de inflexion estan ubicados en u- σ y u+ σ
*- DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
Para generalizar y facilitar el calculo de probabilidad con distribución normal, es conveniente definir la distribucion normal estandar que se obtiene haciendo u= 0 y σ^2= 1 en la función de densidad de la distribucion normal
NOTA: Para el calculo normal de la probabilidad de esta distribución, se pueden usar tablas con valores de F(z) para algunos valores de z
Algunas tablas de la distribución normal, no incluyen probabilidad para valores de z negativos, por lo cual se debe utilizar la siguiente relación de acuerdo a la simetría que caracteriza a esta distribución
Lunes, 18 de julio de 2016
.- En esta clase se perfeccionó el uso de la tabla para el calculo de probabilidad con distribución normal mediante un ejercicio
*-- ESTANDARIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Si una variable tiene distribución normal, mediantes una sustitución se la puede transformar en otra variable con distribución Normal estandar
DEMOSTRACIÓN PARA LA MEDIA Y VARIANZA
Ejemplo:
La duración de un evento tiene distribución normal con media 10 y varianza 4. Encuentre la probabilidad ue el evento dure:
a) Menos de 9 horas
b) Entre 11 y 12 horas
Resolución:
a) P(X≤ 9) = P(z≤ (9-10)/2) = P(z≤ -1/2) =0.30= 30.85 %
b) P(1≤x≤12)= P(1/2≤z≤1)= F(1)- F(1/2) = 0.8413-0.6415= 0.1498 R//
La media de los pesos de 500 estudiantes de la EPN es 70 kg y la desviación típica es 3 kg, suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuantos estudiantes pesan:
a) Entre 60 y 75 kg
b) 64 kg
a) P(60≤ x ≤75) = P( (60-70)/3 ≤ z ≤ (75-70)/3)
= P( -3.33 ≤z≤ (75-70)/3)
= F(1.67) - [ 1- F(3.33)] = 0.9521 //
b) P(x=64) = P( (64-70)/3 ) = P(z=-2) = 0.0227
Px= nf/np = 0.0227=nf/500 nf= 0.0227 * 500 = 11 //
* APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial con :
media: u= n p y varianza: σ^2 = n p q
ENTONCES:
Según la bibliografia utilizada en el curso, se establece que la aproximación es aceptable aun con valores pequeños de "n", siempre que p este cerca de 0.5, o simultaneamente:
CORRECCIÓN DE YATES: BINOMIAL = NORMAL
P(x=k) = P( k-0.5 < x < k+ 0.5)
P(x≤ k) = P(x≤ k+0.5)
P(x<k) = P( x < k - 0-5)
P(x≥k)= P (x≥ k- 0.5)
P(x>k) = P(x> k + 0.5)
Ejercicio:
El 2% de los tornillos fabricados por una máquina presentan defectos. Si tenemos un lote de 200 tornillos. ¿ Cual es la probabilidad de que haya menos de 50 defectuosos?
RESOLUCIÓN:
p= 0.02
q= 1-p = 0.98
n= 2000
np >5
n(1-p)>5 B(n,p) = 2000, 0.02)
u= n p = (2000)(0.02) =40
σ= (npq)^1/2= (2000*0.02*0.98)^1/2 = 6.26
P(x<50) = P(x<49.5) = P( zσ (x-u)/σ) = P(z≤ (49.5-40)/ 6.26)
= P(z≤1.52) = 0.9357 //
Se lanza una moneda "corecta" al aire 400 veces. Calcular la probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 210
RESOLUCÓN:
n= 400
p= 0.5
q= 0.5
u= np= 400(0.5) = 200
σ = (npq)^1/2 = 10 B(400, 0.5)
P( 150 ≤ X≤210) = P (179.5≤X ≤ 210.5)
= P ( (70.5-200)/10 ≤ z≤ (210.5.200)/ 10)
= P ( -2.05≤z≤ 1.05)
= P(z≤ 1.05) =0.8531
P( z≥ 2.05) = 1- p(z<2.05) = 1- 0.9798= 0.0202
P(180 ≤ x ≤ 210) = P( 179.5≤ z≤ 210.5) = 0.8531- 0.0202 = 0.8329 //
Miercoles, 20 de julio de 2016
* DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Es un caso particular de la distribucion gama, y tiene aplicaciones de interés practico. Se obtiene con alfa= 1 en la distribución gama
EJEMPLO:
Lunes, 25 de julio de 2016
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTA
CASO DISCRETO BIVARIADO
Propiedades
.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD MARGINAL
Sean x,y: Variables aleatorias discretas
f( x,y) Funcion de probabilidad conjunta
Entonces:
Miercoles, 27 de julio de 2016
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
- Formular proporciones acerca de la población, incluyendo una medida para determinar el riesgo de la afirmación
-.. Inferencia Estadística
-Afirmación que se hace acerca de la población en base a la información contenida a una muestra aleatoria tomada de la población
Muestreo estadística.
Probabilistico. No probabilístico. Aleatorio simple. Con reemplazo. Sin reemplazo. Simple, doble, multiple. Estratificado. Conglomerados. Sistemático. Errático o asistemático.
- genero - Servicio al cliente - medida de peso m de temperatura
- Distribucion de muestre de una media muestral
- media y varianza muestral
- Sean x1,x2,...,xn, una muestra aleatoria tomada de una poblacion con media u y varianza. entonces
media de x: u= E(x) =U
Varianza de x= sigma ^2/n
Ejemplo:
Un fabricante especifica que la duración de su bateria tiene una distribución normal con media 36 meses (u) y desviacipn estandar 8 meses. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de 9 baterias tenga una desviación media a menos o igual que 30 meses
RESOLUCIÓN:
x: duracion de las baterias
u= 36 meses
σ= 8meses
n=9
P(x≤50)
u=36
Vx= σ^2x= σ^2/n = 64/9 = 7.1
z= (x-u)/ σ
si: σ^2x= σ^2/n --> σ/(n)^1/2
P(x ≤30) = P(z≤ (30-36)/2.67)
= P(z≤ -2.25)= 0.01222= 12%
TEOREMA DE LIMETE CENTRAL
-Si x es la media de una muestra aleatoria de tamaño n, extraída de una poblacion que tiene una media u y varianza, entonces:
Es una variable aleatoria cuya función de probabilidad se aproxima a la Distribución Normal Estandar a medida que "n" aumenta
- La variable z es lo que se aaproxima a una distribución normal estandar no la x
- Se aplica para muestras con n≥ 30 (muestras grandes)
EJEMPLO:
Un fabricante especifica que cada paquete de su producto tiene un peso promedio de 22.5 gr con una desviacion estandar de 2.5 gr. Calcule la probabilidad de que una muestra aleatoria de 40 paquetes de este producto tenga un peso promedio menor e igual a 20 gramos.
RESOLUCIÓN;
x: peso de los paquetes (gr)
u= 22.5 gr
σ= 2.5 gr
n=40 TLC
P(x≤20)
σx= σ/n^1/2 ; σx= 2.5/40^1/2
P(x≤20)= P( z≤ 20-22.5/2.5/raiz de 40)
Evento imposible
Lunes, 1 de Agosto de 2016
DISTRIBUCIÓN T
La distribución T o de Student de probabilidad con forma tipo campana simétrica. Su aplicación más importante se describe a continuación
Suponer que se toma una muestra aleatoria de tamaño n<30 de una poblacion con distribucion normal con media u y varianza desconocida. En este caso ya no se puede usar la variable aleatoria z, en su lugar debe usarse otro estadistico denominado "T" o de Student
Gráfico de la distribución T:
L a forma específica de la distribución T depende del valor de v, el cual es el parámetro para este modelo con la definición v= n-1 y se denomina " grados de libertad
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